Kalkulator naukowy ma wiele przycisków: dodawanie, mnożenie, potęgowanie, pierwiastki, logarytmy, sinusy i cosinusy. W szkole poznajemy je jako osobne działania i funkcje, ale matematyka od dawna pokazuje, że część z nich można zapisywać za pomocą innych. Tangens na przykład wyraża się przez sinus i cosinus, pierwiastek można potraktować jako potęgę, a logarytmy pozwalają zamieniać mnożenie na dodawanie.

W elektronice cyfrowej podobna idea ma bardzo znany odpowiednik. Całą logikę komputerów można zbudować z jednego typu bramki logicznej NAND. Bramki logiczne przyjmują sygnały 0 lub 1 i zwracają wynik także w postaci 0 lub 1. Stanowią najbardziej podstawowy element budowy algorytmów informatycznych. NAND oznacza „nie jednocześnie” (ang. Not-AND): wynik jest równy 0 tylko wtedy, gdy oba wejścia są równe 1. Z takich bramek można zbudować inne działania logiczne, a w konsekwencji całe układy cyfrowe.

Dr hab. Andrzej Odrzywołek z Instytutu Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu Jagiellońskiego zaproponował analogiczną „bramkę”, ale dla funkcji znanych z kalkulatora naukowego. Nazwał go EML, od angielskich słów exp-minus-log. Operator ma postać: eml(x, y) = exp(x) – ln(y), gdzie exp(x) oznacza funkcję wykładniczą, a ln(y) logarytm naturalny. Odkrywca pokazuje, że z tego jednego działania i stałej 1 można odtworzyć m.in. działania arytmetyczne, potęgowanie, logarytmy, pierwiastki, funkcje trygonometryczne oraz stałe e, π, a także jednostkę urojoną i. Praca została udostępniona w otwartym internetowym archiwum naukowym arXiv (https://doi.org/10.48550/arXiv.2603.21852).

Najprostszy przykład użycia funkcji eml(x,y) to uzyskanie funkcji wykładniczej exp(x). Ponieważ ln(1) = 0, mamy eml(x, 1) = exp(x) – ln(1) = exp(x). Trochę bardziej skomplikowane jest utworzenie logarytmu. Autor koncepcji podaje wzór: ln(z) = eml(1, eml(eml(1, z), 1)). Wygląda zawile, ale zasada jest prosta: kilka razy używamy tego samego działania, a poprzedni wynik stanowi dane wejściowe dla następnego. Z takich powtórzeń powstają później drzewa obliczeniowe, czyli schematy przypominające rozgałęzienia. Na końcach są liczby lub zmienne, a w węzłach zawsze ten sam operator EML.

Należy podkreślić, że nowy operator nie zastąpi szkolnej notacji. Nikt nie będzie ręcznie przepisywał sinusa, pierwiastka czy mnożenia jako długiego drzewa EML, jeśli chce wygodnie obliczyć wynik. Znaczenie pomysłu leży w pokazaniu, że znany zestaw funkcji ma bardzo regularną, ukrytą strukturę. Dr Odrzywołek zapisuje ją w postaci prostej reguły: wyrażenie jest albo jedynką, albo wynikiem zastosowania EML do dwóch wcześniejszych wyrażeń.

Możliwe zastosowania dotyczą przede wszystkim obliczeń symbolicznych, czyli pracy komputerów na wzorach, a nie tylko na liczbach. EML może być też interesujący dla regresji symbolicznej. To metoda, w której komputer próbuje znaleźć wzór opisujący dane pomiarowe. Zamiast przeszukiwać ogromny zbiór wyrażeń złożonych z wielu różnych działań, można badać jednolite drzewa zbudowane z jednego typu węzła. Odkrywca pokazał pierwsze doświadczenia, w których takie drzewa, trenowane metodami znanymi z uczenia maszynowego, odzyskiwały proste wzory z danych.

W dyskusjach pojawiły się również pomysły związane ze sprzętem obliczeniowym, np. układami FPGA. Są to programowalne układy elektroniczne, których wewnętrzne połączenia można konfigurować po wyprodukowaniu. W teorii jednolity operator mógłby ułatwiać projektowanie takich specjalnych układów do wybranych obliczeń. Uniwersytet Jagielloński podkreśla jednak, że takie zastosowanie wymaga wciąż dalszych badań.

Sam autor omawia też ograniczenia swojego pomysłu. Po pierwsze warto zachować ostrożność w interpretacji osiągnięcia. Opisany wynik dotyczy konkretnego zestawu funkcji kalkulatora naukowego i standardowych bibliotek matematycznych, a nie każdej funkcji w najszerszym sensie używanym w matematyce. Część obliczeń wymaga też wejścia w liczby zespolone, czyli liczby zawierające jednostkę urojoną i, a także ostrożnego traktowania logarytmów zespolonych.

Niemniej operator EML pokazuje, że pod wieloma przyciskami kalkulatora może kryć się jeden wspólny mechanizm zapisu. Dalsze recenzje, testy i implementacje pokażą, czy będzie to narzędzie praktyczne, czy przede wszystkim inspirująca ciekawostka z pogranicza matematyki, informatyki symbolicznej i uczenia maszynowego.(PAP)

kmp/ bar/